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anais25

Bonjour ! Je n'ai pas vraiment compris mon exercice j'espere que vous pourrez m'aider !

On va utiliser un raisonnement par l'absurde : on suppose le contraire de ce que l'on veut prouver et on fait apparaitre une contradiction ou absurdité , d'ou le nom du raisonement .

On suppose que √2 est rationnel.
On peut donc écrire √2 = a/b , avec a et b entiers naturel , b ≠ 0 et a/b fraction irreductible.

2.a : Montrer que a² = 2b².
2.b : Que peut-on dire sur la parité de a² ?
2.c : En utilisant la premiere partie , trouver la parité de a .

Voila ! J'ai a peu pres compris le raisonement mais pas le terme parité et je sais pas comment montrer que a² = 2b² ! Svp aidez moi!
Merci d'avance ! √

Zorro

Bonjour,

J'ai préparé un fiche que je n'ai pas encore mise sur le forum : tu vas donc l'étrenner :

Le but de cette fiche est de démontrer que que $,\sqrt{,2,},$ est irrationnel.

Démontrons les propriétés préalables nécessaires à la suite de la démonstration :

Si a, entier relatif est pair alors c'est que c'est un nombre obtenu par la multiplication de 2 par un autre nombre entier.
Donc si a est pair alors il existe un entier relatif b tel que
$a,=,2, \times , b, =, 2b$

Si $a,=, 2b$ , alors $a^2, =, (2b)^2, =,4b^2, =, 2, \times ,(2b^2), =,2M$

Donc si a est pair alors $a^2$ est pair

Si a est un nombre impair, on peut l'écrire comme un nombre pair auquel on ajoute 1 donc il peut s'écrire $a,=, 2b, +1$
alors $a^2, =, (2b,+,1)^2, =,4b^2,+,4b,+,1=, 2, \times ,(2b^2,+,2b),+,1, =,2M,+, 1$

Donc si a est impair alors $a^2$ est impair

Avec ces 2 démonstrations, on a bien démontré que

a est pair si et seulement si $a^2$ est pair

Cette notion sera utile dans la suite de la démonstration.

La démonstration de l'irrationalitéde $,\sqrt{,2,},$ se fait par l'absurde. On suppose que ce nombre est rationnel et on arrive à une conclusion fausse. Cela voudra donc dire que notre hypothèse de départ est fausse et donc que $,\sqrt{,2,},$ est un irrationnel.

On suppose que $,\sqrt{,2,},$ est rationnel
Cela signifie qu'il existe deux entiers relatifs p et q tels que $,\sqrt{,2,},=,\frac{,p,}{q}$ et la fraction $,\frac{,p,}{q},$ est irréductible

$,\sqrt{,2,},=,\frac{,p,}{q}$ donc

$,(\sqrt{,2,})^2,=,(\frac{,p,}{q})^2,=,\frac{,p^2,}{q^2}$

donc $,2,=,\frac{,p^2,}{q^2}$ donc $p^2,=,2q^2$

donc $p^2,$ est pair donc p est pair donc il existe un nombre relatif $p',$ tel que $p,=,2p',$

donc $p^2,=,4p'^2,$ or $p^2,=,2q^2,$

donc $2q^2,=,4p'^2,$ donc $q^2,=,2p'^2,$

donc q est pair donc il existe un nombre relatif $q',$ tel que $q,=,2q',$

donc la fraction $\frac{,p,}{q},=,\frac{,2p',}{2q'}$ n'est pas irréductible, ce qui contredit l'hypothèse de départ qui était $,\sqrt{,2,},$ est rationnel.

Donc $,\sqrt{,2,},$ est irrationnel.

Thierry

La fiche de Zorro est arrivée : racine carrée de 2 est irrationnel !

Nini123

Bonjour,

Voilà, j'aimerai savoir à quoi correspond votre 2M dans votre fiche .
Et ensuite j'ai un Dm à faire pouvez vous m'aidez car je suis totalement perdue!
Voici les consignes :

1er étape :

-Justifiez que l'on a : a²=2b²
-Déduisez-en que a² est un nombre pair, puis que a est pair

2eme étape :

-Puisque a est pair, notons p le naturel tel que a=2p
-Justifiez que l'on a alors : b² = 2p²
-Déduisez-en que b² est un nombre pair, puis que b est pair .

J'ai compris le raisonnement mais je n'arrive pas à l'appliquer !
Merci de me répondre au plus vite car c'est super URGENT c'est pour jeudi ^^

Bises .

Zorro

Il manque en effet une précision au niveau de la rédaction de cette fiche

b est un entier relatif , donc $2b^2$ est un entier relatif donc ma première démonstration prouve bien qu'il existe un entier relatif M = $2b^2$ tel que a = 2M

donc a est pair

Bonjours a tous!
je suis en 3 eme et j'ai DM à faire en math et je suis pas très bonne et j'ai besoin d'aide, je ne ne sais pas comment mis prendre sur cet exercice le voila :
1- developper (2n + 1)².En deduire que le carré d'un nombre impair est un nombre impair.
2-Montrer que p² =2q².En déduire que p²est un nombre pair,ainsi que p
3-On pose p =2p' .Montrer que q² =2p'² . En déduire que q est pair .
Merci de me répondre c'est assez urgent et comme je ne comprend pas trop les calculs je n'arrive pas à le faire bis a tous.

Zauctore

salut

et ce que tu lis plus haut, les réponses de zorro, ça ne t'aide pas ?

quand tu dis "je ne comprends pas trop les calculs", desquels parles-tu ?

Tamaris Femme Bottes Tamaris Bottes 25521 Bottes Femme Femme 25521 Tamaris 25521 q6wZgq7

salut ,je parles en faites des calculs 1 , 2 et 3 je n'arrive pas a faire les calculs je ne comprend pas .merci

Zauctore

commence par étudier les calculs du post de zorro du 30.09.2007, 19:37.

ça ressemble énormément !

Ok je vais essayer de comprendre et de faire mes exos merci.

Zauctore

et si tu n'y arrives vraiment pas, ou si qqch n'est pas clair, pose une question précise ici !

Donc j'ai essayer de comprendre donc la sa va j'ai assez bien compris comment il fait mais le problème c'est que je n'arrive pas à le refaire avec mes calculs.
Ceux qui me pose le plus de probleme dans mon enigme c'est le 2 et le 3 je n'est vraiment rien compris .

Zauctore

pour le 2, tu as d'abord p/q = √2 donc p = q√2 et p² = 2q² en mettant tout au carré. ça montre que p² est pair.

à toi de comprendre pourquoi si le carré d'un nombre est pair, alors le nombre lui-même est pair. (sers-toi de la question 1)

est-ce que ça, ça va, pour commencer ?

Re j'aimerais comprendre ce calcul : (2n + 1)² et p² =2q².En déduire que p²est un nombre pair,ainsi que p
Au moin savoir comment on fait?
merci

sa va on va essayer merci

Zauctore

déjà (2n+1)² = (2n+1)(2n+1) = ... en développant.

pour la 3, tu as p=2p' donc puisque p² = 2q², tu as (2p')² = 2q².

simplifie etc.

merci je comprend deja mieux!

Dans le calcul 1)
(2n+1)=(2n+1)x(2n+1)=3nx3n c'est sa ?

Zauctore

quelle horreur ! je comprends mieux ta difficulté face à l'exercice.

si je représente un billet de 10€ par ce symbole # et si je te donne 2#+1, est-ce que je te donne 30€ ou bien 21 ?

dans ce qui nous intéresse, tu as
(2n+1)² = (2n+1)(2n+1) = 4n² + 2n + 2n + 1
en développant et tu ne réduis que les termes de même genre.

Il me semblait lol c je dirait 21 mais bon je ne comprend pas pourquoi tu as mis 2n+2n car pour moi 4n² c'est le regroupement des 2n ?

Zauctore

NON : 4n² = 2n×2n alors que 4n = 2n+2n ça n'a rien à voir !

Donc en fait tu as fait 2nx2n qui fait 4n² et 2n+2n qui fait 4n

Zauctore

mais NON : sois rigoureuse ! lorsque tu fais 2n×2n, tu obtiens 2×2×n×n = 4n² le carré ² n'est pas un détail !

donc 4n² + 2n + 2n + 1=4n²+4n+1 c bon ?

en fait jusqu'a la sa va j'ai compris mais est ce que 4n² + 2n + 2n + 1=4n²+4n+1?

Zauctore

oui !

ok 4n² + 2n + 2n + 1=4n²+4n+1 et apres je fait comment pour regrouper?

Zauctore

tu n'as pas vraiment jeté un oeil attentif au travail de zorro !

tu factorises pas 2 !

coucou ,si j'ai essayer de faire le meme calcul quand il écrit (2b+1)²=4b²+4b+1=2x(2b²+2b)+1=2M+1
sauf avec mes chiffre mais je ne sais pas si c'est bon ?
merci

Zauctore

re.

tu écriras 4n²+4n+1 = 2(2n² + 2n) + 1 ce qui montre que c'est impair.

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